'얼마나 걸까'의 수학이 있어요
켈리 공식(Kelly Criterion)을 직접 실험해볼 수 있는 웹 시뮬레이터가 공개됐어요. 켈리 공식이 뭐냐면, '유리한 게임이라는 걸 알 때, 매번 자산의 몇 퍼센트를 걸어야 장기적으로 가장 빨리 불어나는가'를 알려주는 공식이거든요. 1956년 벨 연구소의 존 켈리가 정보 이론을 연구하다가 만들었는데, 이후 전설적인 수학자이자 투자자인 에드워드 소프가 블랙잭과 주식 시장에서 실전 검증을 하면서 유명해졌어요.
직관과 어긋나는 지점이 재밌는데요. 승률 60%에 이기면 건 돈만큼 따는 게임이 있다고 해볼게요. 유리한 게임이니까 많이 걸수록 좋을 것 같잖아요? 그런데 매번 전 재산을 걸면 언젠가 한 번 지는 순간 파산이에요. 확률적으로 그 '언젠가'는 반드시 오거든요. 반대로 너무 조금 걸면 유리함을 낭비하는 거고요. 켈리 공식은 이 사이의 최적점을 찾아줘요. 공식은 f = (bp − q) / b 인데, b는 배당률, p는 승률, q는 패배 확률이에요. 위 예시에 넣어보면 (1×0.6 − 0.4) / 1 = 0.2, 그러니까 매번 자산의 20%를 거는 게 정답이에요.
왜 시뮬레이터로 봐야 할까요
공식 자체는 한 줄이지만, 이게 왜 최적인지는 수식만 봐서는 잘 와닿지 않아요. 켈리 공식이 최대화하는 건 자산의 산술평균이 아니라 기하평균, 그러니까 '복리 성장률'이거든요. 이게 뭐냐면, +50%와 −50%를 한 번씩 겪으면 평균은 0이지만 실제 내 돈은 25% 줄어 있는 것과 같은 이야기예요. 곱셈으로 쌓이는 세계에서는 큰 손실 한 방이 수익 여러 번을 잡아먹어요.
시뮬레이터의 가치가 여기서 나와요. 베팅 비율을 직접 조절하면서 수백 번의 게임을 굴려보면, 켈리 비율보다 많이 거는 '과베팅'이 어떤 결과를 낳는지 눈으로 보게 되거든요. 놀랍게도 켈리 비율의 2배를 걸면 장기 성장률이 0이 되고, 그보다 더 걸면 유리한 게임인데도 자산이 확실하게 녹아내려요. 같은 승률, 같은 배당인데 베팅 크기 하나로 부자와 파산자가 갈리는 걸 그래프로 직접 확인하면 꽤 충격적이에요.
현실에서는 함정이 있어요
실전에서는 켈리 공식을 그대로 쓰기 어려운 이유가 있는데요, 공식에 들어가는 승률 p를 우리가 정확히 모른다는 거예요. 내가 추정한 승률이 실제보다 낙관적이면 나도 모르게 과베팅 영역에 들어가 있는 거고, 위에서 봤듯 과베팅의 대가는 잔인하거든요. 그래서 실무자들은 계산된 켈리 비율의 절반만 거는 '하프 켈리'를 많이 써요. 성장률은 조금 포기하는 대신 자산이 출렁이는 폭이 훨씬 줄고, 추정 오차에 대한 안전마진이 생기거든요. 풀 켈리는 이론적 최적이지만 그 여정의 변동성은 웬만한 멘탈로 버티기 힘들어요. 시뮬레이터에서 풀 켈리 경로의 중간 낙폭을 보면 무슨 말인지 바로 이해되실 거예요.
개발자에게 왜 의미가 있냐면요
이 주제는 개발자가 갖고 놀기 좋은 소재예요. 몬테카를로 시뮬레이션, 그러니까 난수를 수만 번 굴려서 확률 분포를 확인하는 기법을 연습하기에 딱 좋거든요. 파이썬으로 50줄이면 직접 만들 수 있으니 주말 토이 프로젝트로 추천해요. 그리고 사고방식 자체가 실무에 이식돼요. 리스크가 있는 선택, 예를 들어 새 기술 스택 도입이나 사이드 프로젝트에 쏟는 시간 배분 같은 것도 결국 '기대값이 양수인 베팅에 자원을 얼마나 배분할까'의 문제인데, 켈리적 사고는 '유리해 보여도 올인은 답이 아니고, 회복 불가능한 손실을 피하는 게 우선'이라는 감각을 심어주거든요.
정리하면요
켈리 공식은 '무엇에 걸까'만큼 '얼마나 걸까'가 중요하다는 걸 수학으로 보여주고, 시뮬레이터는 그걸 몸으로 느끼게 해줘요. 여러분은 확률적 판단이 필요한 순간에 어떤 기준으로 배팅 크기, 그러니까 투입 자원의 크기를 정하시나요? 직접 시뮬레이션을 짜본 경험이 있다면 공유해 주세요.
🔗 출처: Hacker News