Hacker News 2026.06.22 33

기하 대수(Geometric Algebra)는 정말 만능일까 — 한 회의론자의 반론

'수학을 통일한다'는 기하 대수, 정말 그럴까

그래픽스나 게임, 로보틱스, 물리 시뮬레이션을 하다 보면 기하 대수(Geometric Algebra, GA)라는 걸 한 번쯤 듣게 돼요. 회전, 평면, 부피 같은 기하학적 개념을 하나의 우아한 체계로 통일해서, 쿼터니언이나 행렬, 복소수, 외적 같은 걸 따로 배울 필요 없이 '하나로 다 설명한다'고 홍보되는 수학이죠. 열성 팬들은 거의 '이것만 알면 된다'는 식으로 권하기도 해요. 그런데 알렉스 크리체프스키라는 분이 '잠깐, GA가 그렇게 만능은 아니다'라며 조목조목 반론을 편 글이 있어서 소개해볼게요.

먼저 오해를 풀자면, 이 글은 'GA는 쓰레기다'가 아니에요. 오히려 글쓴이는 GA를 이루는 상당 부분, 특히 외대수(exterior algebra)는 정말 유용하고 아름답다고 인정해요. 비판의 칼끝은 GA의 간판 개념인 기하 곱(geometric product) 하나에 집중됩니다.

문제의 핵심: 기하 곱

기하 대수의 상징 같은 공식이 있어요. 두 벡터 a, b의 기하 곱은 ab = a·b + a∧b, 즉 '내적(스칼라)'과 '외적(바이벡터)'을 더한 거예요. 여기서 글쓴이가 불편해하는 지점은 이거예요. 스칼라(그냥 숫자)와 바이벡터(방향 있는 평면 조각)는 성질이 전혀 다른 물건인데, 이걸 그냥 '+'로 더해서 한 덩어리로 묶는다는 거죠. 글쓴이 표현을 빌리면 '사과와 오렌지를 더하는 것' 같다는 거예요. 수학적으로 허용은 되지만, 그게 정말 '자연스럽고 근본적인' 연산이냐고 묻는 거죠.

GA 진영은 '이렇게 묶으니까 회전이 깔끔하게 떨어진다'고 말해요. 실제로 GA에서는 로터(rotor)라는 걸로 회전을 표현하는데, 이게 쿼터니언과 본질적으로 같은 역할을 하거든요. 하지만 글쓴이는 '그건 외대수와 그 위의 구조만으로도 충분히 설명되고, 굳이 서로 다른 등급(grade)을 더하는 기하 곱을 근본 연산으로 떠받들 필요는 없다'고 봐요. 즉 GA가 자랑하는 통일성의 상당 부분은 사실 외대수(웨지곱 ∧)와 쌍대(dual) 개념에서 나오는 거고, 기하 곱 자체가 마법을 부리는 건 아니라는 주장이에요.

그래서 결론은 '취사선택'

글의 메시지를 정리하면 이래요. GA를 하나의 '신앙'처럼 통째로 받아들이지 말고, 쓸모 있는 부분(외대수, 바이벡터로 평면·회전 다루기, 차원에 구애받지 않는 표현)은 가져다 쓰되, '기하 곱이 모든 걸 통일하는 궁극의 연산'이라는 마케팅은 걸러 들으라는 거죠. 회전이 필요하면 이미 잘 검증된 쿼터니언과 행렬이 있고, 그걸 버릴 이유는 없다고요.

업계 맥락에서 보면

최근 그래픽스·게임 쪽에선 PGA(투영 기하 대수), CGA(등각 기하 대수) 같은 GA 변종이 '행렬보다 직관적이다'라며 호응을 얻고 있어요. 평면·직선·점을 일관되게 다루고, 변환을 깔끔하게 합성할 수 있다는 장점은 분명 있죠. 반대편엔 '수십 년간 다듬어진 선형대수·쿼터니언 파이프라인이 이미 충분하고, GPU와 라이브러리 생태계도 거기에 최적화돼 있다'는 현실론이 있고요. 이 글은 그 사이에서 '맹목적 전도(傳道)'를 경계하는 균형추 역할을 하는 셈이에요.

한국 개발자에게 주는 시사점

새로운 수학·도구가 '이거 하나면 다 된다'는 식으로 소개될 때, 한 발 물러서서 '정확히 무엇이 새롭고, 무엇이 기존 것의 재포장인가'를 따져보는 태도가 중요해요. GA를 공부한다면, 화려한 기하 곱부터 외우기보다 외대수와 웨지곱의 직관을 먼저 잡는 게 실속 있고요. 그래픽스·물리 엔진을 다루는 분이라면, 당장 모든 코드를 GA로 갈아엎기보다는 '이 문제에서 GA가 코드를 진짜로 단순하게 만드는가'를 사안별로 판단하는 게 현명해요.